Mathématiques de base Exemples

$\frac{- 38 - 3 i - 8 i^{2}}{10 - 4 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 38 - 3 i - 8 i^{2}}{10 - 4 i}$ par le conjugué de $10 - 4 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 38 - 3 i - 8 i^{2}}{10 - 4 i} \cdot \frac{10 + 4 i}{10 + 4 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(- 38 - 3 i - 8 i^{2}) (10 + 4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(- 38 - 3 i - 8 \cdot - 1) (10 + 4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{(- 38 - 3 i + 8) (10 + 4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 38$ et $8$ .

$\frac{(- 30 - 3 i) (10 + 4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.3

Développez $(- 30 - 3 i) (10 + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 30 (10 + 4 i) - 3 i (10 + 4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 30 \cdot 10 - 30 (4 i) - 3 i (10 + 4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 30 \cdot 10 - 30 (4 i) - 3 i \cdot 10 - 3 i (4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

Multipliez $- 30$ par $10$ .

$\frac{- 300 - 30 (4 i) - 3 i \cdot 10 - 3 i (4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $- 30$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 3 i \cdot 10 - 3 i (4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $10$ par $- 3$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i - 3 i (4 i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 3 i (4 i)$ .

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Étape 2.2.4.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i - 12 i i}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i - 12 (i^{1} i)}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i - 12 (i^{1} i^{1})}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i - 12 i^{1 + 1}}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i - 12 i^{2}}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i - 12 \cdot - 1}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{- 300 - 120 i - 30 i + 12}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $- 300$ et $12$ .

$\frac{- 288 - 120 i - 30 i}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.2.4.3

Soustrayez $30 i$ de $- 120 i$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{(10 - 4 i) (10 + 4 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(10 - 4 i) (10 + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 288 - 150 i}{10 (10 + 4 i) - 4 i (10 + 4 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 288 - 150 i}{10 \cdot 10 + 10 (4 i) - 4 i (10 + 4 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 288 - 150 i}{10 \cdot 10 + 10 (4 i) - 4 i \cdot 10 - 4 i (4 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $10$ par $10$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 10 (4 i) - 4 i \cdot 10 - 4 i (4 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $4$ par $10$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 40 i - 4 i \cdot 10 - 4 i (4 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $10$ par $- 4$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 40 i - 40 i - 4 i (4 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 40 i - 40 i - 16 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 40 i - 40 i - 16 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 40 i - 40 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 40 i - 40 i - 16 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 40 i - 40 i - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $40 i$ de $40 i$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 0 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $100$ et $0$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 - 16 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{100 + 16}$

Étape 2.3.4

Additionnez $100$ et $16$ .

$\frac{- 288 - 150 i}{116}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $- 288 - 150 i$ et $116$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 288$ .

$\frac{2 (- 144) - 150 i}{116}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 150 i$ .

$\frac{2 (- 144) + 2 (- 75 i)}{116}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 144) + 2 (- 75 i)$ .

$\frac{2 (- 144 - 75 i)}{116}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $116$ .

$\frac{2 (- 144 - 75 i)}{2 \cdot 58}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 144 - 75 i)}{2 \cdot 58}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 144 - 75 i}{58}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{- 144 - 75 i}{58}$ en deux fractions.

$\frac{- 144}{58} + \frac{- 75 i}{58}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun à $- 144$ et $58$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 144$ .

$\frac{2 (- 72)}{58} + \frac{- 75 i}{58}$

Étape 5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $58$ .

$\frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 29} + \frac{- 75 i}{58}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 72}{2 \cdot 29} + \frac{- 75 i}{58}$

Étape 5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 72}{29} + \frac{- 75 i}{58}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{72}{29} + \frac{- 75 i}{58}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{72}{29} - \frac{75 i}{58}$